Русский / English 
?php echo $word_institute;?>
INSTITUTERESEARCHPROJECTSSCIENCE AND EDUCATIONNEWSCONTACTS
 
Research » Mathematical Modeling Methods » Stochastic Mathematical Models for Radionuclide Spreading in Highly Heterogeneous Fractured Media

STOCHASTIC MATHEMATICAL MODELS FOR RADIONUCLIDE SPREADING IN HIGHLY HETEROGENEOUS FRACTURED MEDIA


Проблематика исследований

Одной из первоочередных задач при обосновании безопасности объектов длительного хранения высокоактивных отходов является задача выполнения консервативных оценок рисков, связанных с распространением радиоактивных примесей на большие расстояния и в течение очень длительных промежутков времени. К исследованиям в этой области ИБРАЭ РАН приступил еще в в конце 1990-х гг., когда в США активно обсуждался проект сухого хранилища (репозитория) ОЯТ и РАО в Юкка-Маунтин (Yucca Mountain), штат Невада. Требовалось оценить надежность этого репозитория на интервале времени в сотни тысяч лет.

Проведенные в США натурные эксперименты MADE (MacroDispersion Experiment) реального природного масштаба, в которых в естественных условиях исследовалась миграция примеси, инжектированной в водоносный слой, показали, что в неоднородных средах профили концентрации трассера существенно асимметричны. Они имеют сильно вытянутые в сторону течения «хвосты», в которых убывание концентрации примеси не соответствует классическому закону молекулярной диффузии Фике и происходит не по экспоненциальному, а по степенному закону. Такой аномальный характер дисперсии радионуклидов при естественной фильтрации в сильно неоднородных водоносных слоях опасен возможностью их миграции на более значительные расстояния, чем считалось ранее.

Ранее использовавшиеся в описании этих экспериментов модели с дробной пространственной производной ограничены одномерным случаем и не применимы к расчету анизотропных процессов. Для решения этой проблемы в ИБРАЭ РАН предложена концепция многомерных стохастических моделей случайных блужданий (FLM, Fractal Levy Motion) на основе альфа-устойчивых случайных процессов.

Альфа-устойчивые случайные процессы — это бесконечно делимые процессы, которые являются, в определенном смысле, аттрактором для всех остальных процессов. Они зависят от некоторых параметров, в частности, от параметра a. При a = 2 мы имеем хорошо всем известный гауссов процесс распределения с затухающими по экспоненте хвостами, при a < 2 мы имеем процессы распределения с так называемыми «тяжелыми» хвостами.

 

Стохастические модели переноса на основе альфа-устойчивого распределения.

Например, если рассмотреть уравнение Колмогорова в одномерном случае для различных a, то при a = 2 оно сводится к обычному уравнению диффузии с неким коэффициентом, а при 1< a < 2 к так называемым уравнениям диффузии с дробными производными. Если случайный процесс Гаусса описывает случайное блуждание частицы, не совершающей далеких прыжков, то при a ≠ 2 мы имеем иные процессы распределения, так называемые «полеты Леви», которые хорошо подходят для моделирования просачивания загрязнений через трещины в геологических средах.

Переход от модели классической диффузии к неклассической модели диффузии с дробными производными.

Принципиально важно, каким уравнением описывается процесс распространения загрязнения. Определяющую роль здесь играет величина коэффициента a при операторе дробной производной. В качестве примера можно привести график зависимости эффективного коэффициента диффузии от a. При a = 2 мы имеем классический процесс диффузии, а при меньших значениях a имеет место аномальная диффузия.

 

Зависимость эффективного коэффициента диффузии от степени дробности производной.

По оси ординат на графике отложен эффективный коэффициент диффузии, который был бы у гауссова процесса, если бы мы использовали этот гауссов процесс. При уменьшении значения коэффициента a с 2 до всего лишь до 1.95 эффективный коэффициент диффузии D возрастает на три порядка. Поэтому при оценке надежности захоронений ОЯТ и РАО важны не столько характеристики среды на данный момент времени (за тысячи лет ареография, конечно, изменится), сколько то, как определяется действующий коэффициент диффузии.

 

Распространение примеси с течением времени в различных режимах диффузии.

Результаты исследований

 На основе a-устойчивых случайных процессов разработаны перколяционные статические и динамические модели распространения загрязнения. В частности, на основе оригинальных генераторов случайных величин аппроксимационного типа разработаны одномерная, двумерная и трехмерная стохастические робастные (устойчивые к внешним воздействиям) модели распространения примеси с «тяжелыми» хвостами функции распределения. Эти модели были использованы для настройки нейронных сетей с оценкой коэффициентов a по результатам экспериментов. Ниже приведен пример описания реальных процессов дисперсии радионуклидов в неоднородных средах (в экспериментах MADE).

  Зависимости от времени пиковой концентрации (max) и среднего значения (mean) трассера в эксперименте MADE-2 и сравнение с результатами расчетов по двумерной стохастической модели (сплошные линии).

 Также разработан ряд моделей, относящихся к другому классу стохастических моделей фрактальных блужданий — Fractal Brownian Motion (FBM) c коррелированными приращениями во времени. Они предназначены для описания результатов, полученных в лабораторных условиях при исследовании процессов аномальной дисперсии (как субдиффузии так и супердиффузии). На основе модели двумерной фрактальной случайной трещиноватой среды реализован алгоритм CABARET прямого численного моделирования распространения радиоактивного загрязнения.

Созданные в ИБРАЭ РАН стохастические модели представляют собой вычислительную основу для разработки программных кодов, предназначенных для расчета и прогнозирования переноса радионуклидов в неоднородных геологических формациях с фрактальной структурой трещин, и решения задач обеспечения безопасности хранения радиоактивных отходов. Разработаны такие детерминированные модели расчета переноса влаги в сильноконтрастных трещиноватых средах на основе алгоритма CABARET.

Результаты расчета по схеме CABARET просачивания воды по трещиноватой среде.

Описанные выше методики могут быть использованы при изучении процессов распространения загрязняющих примесей в сильно неоднородных средах, в том числе, при оценке безопасности захоронения радиоактивных отходов на очень большие периоды времени, а также в интересах нефтедобывающей промышленности, поскольку многие из современных нефтяных месторождений имеют очень плохие коллекторы.


IBRAE RAN © 2013 Site map | Feedback