Русский / English 
?php echo $word_institute;?>
INSTITUTERESEARCHPROJECTSSCIENCE AND EDUCATIONNEWSCONTACTS
 
Research » Theoretical Researches » Разработка новых методов решения уравнений и обработки данных » Stochastic Mathematical Models for Radionuclide Spreading in Highly Heterogeneous Fractured Media

STOCHASTIC MATHEMATICAL MODELS FOR RADIONUCLIDE SPREADING IN HIGHLY HETEROGENEOUS FRACTURED MEDIA


Одной из первоочередных задач при обосновании безопасности объектов хранения РАО является задача выполнения консервативных оценок рисков, связанных с распространением радиоактивных примесей на большие расстояния. Проведенные в США натурные эксперименты MADE (MacroDispersion Experiment) реального природного масштаба, в которых в естественных условиях исследовалась миграция примеси, инжектированной в водоносный слой, показали, что в неоднородных средах профили концентрации трассера существенно асимметричны. Они имеют сильно вытянутые в сторону течения «хвосты», в которых убывание концентрации примеси не соответствует классическому закону молекулярной диффузии Фике и происходит не по экспоненциальному, а по степенному закону. Такой аномальный характер дисперсии радионуклидов при естественной фильтрации в сильно неоднородных водоносных слоях опасен возможностью их миграции на более значительные расстояния, чем считалось ранее.

Ранее используемые в описании этих экспериментов модели с дробной пространственной производной ограничены одномерным случаем и неприменимы к расчету анизотропных процессов. Для решения этой проблемы в ИБРАЭ РАН предложена концепция применения многомерных стохастических моделей случайных блужданий (FLM, Fractal Levy Motion) к моделированию полетов Леви на основе альфа-устойчивых случайных процессов.

Альфа-устойчивые случайные процессы — это бесконечно делимые процессы, которые являются, в определенном смысле, аттрактором для всех остальных процессов. Они зависят от некоторых параметров, в частности, от параметра a. При a = 2 мы имеем хорошо всем известный гауссов процесс распределения с затухающими по экспоненте хвостами, при a < 2 мы имеем процессы распределения с так называемыми «тяжелыми» хвостами.

 

Стохастические модели переноса на основе альфа-устойчивого распределения.

Например, если рассмотреть уравнение Колмогорова в одномерном случае для различных a, то при a = 2 оно сводится к обычному уравнению диффузии с неким коэффициентом, а при 1< a < 2 к так называемым уравнениям диффузии с дробными производными. Если случайный процесс Гаусса описывает случайное блуждание частицы, не совершающей далеких прыжков, то при a ≠ 2 мы имеем иные процессы распределения, так называемые «полеты Леви», которые хорошо подходят для моделирования просачивания загрязнений через трещины в геологических средах.

Переход от модели классической диффузии к неклассической модели диффузии с дробными производными.

Принципиально важно, каким уравнением описывается процесс распространения загрязнения. Определяющую роль здесь играет величина коэффициента a при операторе дробной производной. В качестве примера можно привести график зависимости эффективного коэффициента диффузии от a. При a = 2 мы имеем классический процесс диффузии, а при меньших значениях a имеет место аномальная диффузия.

 

Зависимость эффективного коэффициента диффузии от степени дробности производной.

По оси ординат на графике отложен эффективный коэффициент диффузии, который был бы у гауссова процесса, если бы мы использовали этот гауссов процесс. При уменьшении значения коэффициента a с 2 до всего лишь до 1.95 эффективный коэффициент диффузии D возрастает на три порядка. Поэтому при оценке надежности захоронений ОЯТ и РАО важны не столько характеристики среды на данный момент времени (за тысячи лет ареография, конечно, изменится), сколько то, как определяется действующий коэффициент диффузии.

 

Распространение примеси с течением времени в различных режимах диффузии.

Учитывая широкий спектр возможного характера распространения радионуклидов в неоднородных средах, в ИБРАЭ РАН проведены фундаментальные исследования, по итогам которых на основе оригинальных генераторов случайных величин апроксимационного типа разработаны одномерная, двумерная и трехмерная стохастические робастные (устойчивые к внешним воздействиям) модели распространения примеси с «тяжелыми» хвостами функции распределения. Эти модели использовались для описания реальных процессов дисперсии радионуклидов в неоднородных средах (в частности, в экспериментах MADE).

Также разработан ряд моделей, относящихся к другому классу стохастических моделей фрактальных блужданий — Fractal Brownian Motion (FBM) c коррелированными приращениями во времени. Они предназначены для описания результатов, полученных в лабораторных условиях при исследовании процессов аномальной дисперсии (как субдиффузии так и супердиффузии).

На основе модели двумерной фрактальной случайной трещиноватой среды реализован алгоритм прямого численного моделирования распространения радиоактивного загрязнения, который позволяет строить анизотропные среды в различных направлениях (как по горизонтали, так и по вертикали).

Созданные в ИБРАЭ РАН стохастические модели представляют собой вычислительную основу для разработки программных кодов, предназначенных для расчета и прогнозирования миграции радионуклидов в неоднородных геологических средах и решения задач обеспечения безопасности пунктов долговременного захоронения радиоактивных отходов. Разработаны такие детерминированные модели расчета переноса влаги в сильноконтрастных трещиноватых средах на основе алгоритма КАБАРЕ, которые могут быть использованы в интересах нефтедобывающей промышленности.

       
Сравнение зависимостей от времени пиковой концентрации (max) и среднего значения (mean) трассера в эксперименте MADE-2 с результатами расчетов по двумерной стохастической модели с «тяжелыми» хвостами функции распределения (сплошные линии)  

Просачивание воды в трещиноватой среде. Результаты расчета по схеме КАБАРЕ

 

© Отдел перспективных исследований и математического моделирования


IBRAE RAN © 2013 Site map | Feedback